CONTENIDO

INTRODUCCI?N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Cap?tulo 1

DESARROLLO DE LOS N?MEROS . . . . . . . . . . . 15

1.1 Desarrollo l?gico vs. desarrollo hist?rico .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?15

1.2 Naturaleza de los n?meros. Matem?ticas y ciencia.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?20

Cap?tulo 2

EL CONCEPTO DE N?MERO. . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 C?mo surge el concepto de n?mero . . . . . . . . . . . 23

Cap?tulo 3

EL CERO Y LOS SISTEMAS DE NUMERACI?N . . . . . 27

3.1 El sistema decimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Sistema de base dos.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?28

3.3 Sistema babilonio de base 60 o sexagesimal. . . . . . . . 28

3.4 Sistema decimal de los egipcios.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?31

3.5 Sistema de numeraci?n chino.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?33

3.6 Sistema de numeraci?n griego . . . . . . . . . . . . . 34

3.7 Sistema de numeraci?n romano .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?36

3.8 Sistema de numeraci?n indio .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?36

3.9 Sistema vigesimal azteca.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?37

3.10 Sistema vigesimal maya. . . . . . . . . . . . . . . 37

Cap?tulo 4

LOS N?MEROS NATURALES. . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 El concepto de n?mero natural. . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Definici?n formal de los naturales .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?45

4.3 La evoluci?n hist?rica de los n?meros naturales . . . . . . 48

Cap?tulo 5

LOS N?MEROS PRIMOS. . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 El concepto de los n?meros primos.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?51

Cap?tulo 6

LOS N?MEROS NEGATIVOS. . . . . . . . . . . . . . 61

6.1 El concepto de n?mero negativo.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?61

6.2 La evoluci?n hist?rica de los n?meros negativos. . . . . . 65

Cap?tulo 7

LOS N?MEROS FRACCIONARIOS. . . . . . . . . . . 71

7.1 El concepto de n?mero fraccionario. . . . . . . . . . . 71

7.2 La evoluci?n hist?rica de los n?meros fraccionarios .? ?.? ?.? ?.? ?75

7.3 Clasificaci?n de las fracciones . . . . . . . . . . . . . 77

Cap?tulo 8

LOS N?MEROS IRRACIONALES. . . . . . . . . . . . 81

8.1 Ra?ces en?simas de un n?mero. . . . . . . . . . . . . 81

8.2 El concepto de n?mero irracional. . . . . . . . . . . . 81

8.3 La evoluci?n hist?rica de los n?meros irracionales . . . . . 88

Cap?tulo 9

LAS TERNAS PITAG?RICAS. . . . . . . . . . . . . 103

9.1 Las ternas pitag?ricas .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 103

Cap?tulo 10

LOS N?MEROS COMPLEJOS E IMAGINARIOS. . . . 111

10.1 El concepto de n?meros complejos e imaginarios . . . . 111

10.2 La evoluci?n hist?rica de los n?meros complejos

e imaginarios.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 118

Cap?tulo 11

LOS CUATERNIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . 123

11.1 El concepto de cuaterniones .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 123

11.2 Usos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Cap?tulo 12

LOS OCTONIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

12.1 El concepto de octoniones.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 129

12.2 Usos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Cap?tulo 13

LA NATURALEZA DE LOS N?MEROS . . . . . . . . . 137

13.1 Los n?meros como conceptos universales . . . . . . . 137

13.2 El conceptualismo.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 138

13.3 El nominalismo de Berkeley.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 138

13.4 El realismo trascendente de Plat?n. . . . . . . . . . 140

13.5 El realismo inmanente de Arist?teles . . . . . . . . . 141

13.6 Los pitag?ricos y los n?meros. . . . . . . . . . . . 141

13.7 Kant y la aritm?tica como a priori.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 142

13.8 Tesis acerca de la naturaleza de

las matem?ticas.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 146

Cap?tulo 14

MATEM?TICAS Y CIENCIAS. . . . . . . . . . . . . 155

14.1 Las ciencias f?cticas .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 155

14.2 Las matem?ticas como ciencia formal .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 160

14.3 Matem?ticas y f?sica .? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?.? ?. 163

REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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La naturaleza de los números una introducción Su origen y evolución